如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=
π
3
，AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F分別是邊AD、DC上的動(dòng)點(diǎn)，且
|
CF|
|
CD|
=
|
DE|
|
DA|
=t，BE與AC交于G點(diǎn)．
（1）若t=
1
2
，試用向量
AB
，
AD
表示向量
AG
；
（2）求
BG
•
BF
的取值范圍．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由點(diǎn)E、G、B三點(diǎn)共線，得
AG
=m
AE
+(1-m)
AB
=
1
2
m
AD
+（1-m）
AB
，又點(diǎn)G在AC上，則
AG
=n
AC
，即
AG
=n(
AD
+
AB
)，由平面向量基本定理可得關(guān)于m、n的方程組，解出后可得結(jié)論；
（2）同（1）可用平面向量基本定理表示出
AG
，進(jìn)而可得
BG
、
BF
，從而可把
BG
•
BF
表示為t的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的最值，于是得到答案；
解答： 解：（1）若t=
1
2
，則
CF
=
1
2
CD
，
DE
=
1
2
DA
，
∵點(diǎn)E、G、B三點(diǎn)共線，
∴
AG
=m
AE
+(1-m)
AB
=
1
2
m
AD
+（1-m）
AB
，
設(shè)
AG
=n
AC
，則
AG
=n(
AD
+
AB
)，
∴
1
2
m
AD
+（1-m）
AB
=n(
AD
+
AB
)，則
1
2
m=n
1-m=n
，
解得m=
2
3
，n=
1
3
，
∴
AG
=
1
3
(
AD
+
AB
)；
（2）
AG
=m
AE
+(1-m)
AB
=m（1-t）
AD
+（1-m）
AB
，
設(shè)
AG
=n
AC
，則
AG
=n(
AD
+
AB
)，
則
m(1-t)=n
1-m=n
，得n=
1-t
2-t
，
∴
AG
=
1-t
2-t
(
AD
+
AB
)，
則
BG
=
AG
-
AB
=
1-t
2-t
（
AD
+
AB
）-
AB
=
1-t
2-t
AD
-
1
2-t
AB
，
BF
=
BC
+
CF
=
AD
-t
AB
，
而
AB
•
AD
=|
AB
||
AD
|cos∠BAD=2×1×cos
π
3
=1，
∴
BG
•
BF
=（
1-t
2-t
AD
-
1
2-t
AB
）•（
AD
-t
AB
）=
1-t
2-t
+
4t
2-t
-
t(1-t)
2-t
-
1
2-t
=
t2+2t
2-t
，
令y=
t2+2t
2-t
（0≤t≤1），
y'=
-(t-2)2+8
(2-t)2
＞0，
∴y=
t2+2t
2-t
在t∈[0，1]上遞增，
t=0時(shí)ymin=0，t=1時(shí)ymax=3，
∴
BG
•
BF
的取值范圍為[0，3]．
點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、平面向量基本定理、三點(diǎn)共線的條件等知識，考查函數(shù)思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象的一部分如圖所示：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出它的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-6，-
2
3
]時(shí)，求函數(shù)y=f（x+2）的值域；
（3）記S=f（0）+f（1）+…+f（2014），求S的值．

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已知sinα=
5
5
，且α是第一象限角．
（1）求cosα的值；
（2）求tan(α+π)+
sin(
3π
2
-α)
cos(π-α)
的值．

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（2）求二面角A-A1D-B的正弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離．

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（Ⅱ）設(shè)a為小于零的常數(shù)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，求證：直線A′B過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，
AD
•
AB
=
1
3
|
AB
|2
（Ⅰ）求∠BAD的大小；
（Ⅱ）若E為BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)為平行四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，求
AE
•
AF
的最大值．

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