Question

已知拋物線C：y²=12x，點M（a，0），過M的直線l交拋物線C于A，B兩點．
（Ⅰ）若a=1，拋物線C的焦點與AB中點的連線垂直于x軸，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)a為小于零的常數(shù)，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，求證：直線A′B過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,恒過定點的直線,與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)過點M（1，0）的直線l的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，消去y，利用F與AB中點的連線垂直于x軸，結(jié)合韋達定理，求出k，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）因為點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，所以A′（x₁，-y₁），直線A′B：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，利用韋達定理，結(jié)合拋物線方程，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由已知，拋物線C：y²=12x，的焦點坐標為F（3，0）．…（1分）
設(shè)過點M（1，0）的直線l的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程，消去y可得k²x²-（2k²+12）x+k²=0．…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+12

k2

．…（3分）
因為F與AB中點的連線垂直于x軸，所以

x1+x2

2

=3，即

k2+6

k2

=3．…（4分）
解得k=±

3

，．…（5分）
所以，直線l的方程為y=±

3

（x-1）．…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為y=（x-a）．
代入拋物線方程，消去y可得k²x²-（2ak²+12）x+a²k²=0，…（7分）
則k²≠0，且△=48ak²+144＞0，即k≠0，且ak²+3＞0．
x₁+x₂=

2ak2+12

k2

，x₁x₂=a²．…（8分）
因為點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，所以A′（x₁，-y₁），直線A′B：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
又y₁²=12x₁，y₂²=12x₂，所以y=

12

y2-y1

(x-x2)+y2，…（10分）
所以y=

12

y2-y1

x-

y1y2

y2-y1

．…（11分）
因為y₁²y₂²=144x₁x₂=144a²，又y₁，y₂同號，a＜0，
所以y₁y₂=-12a，…（12分）
所以直線直線A′B的方程為y=

12

y2-y1

(x+a)，…（13分）
所以，直線直線A′B恒過定點（-a，0）．…（14分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程的求解，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．