Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2（a∈R），y=f（x）的圖象連續(xù)不間斷．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，設(shè)l是曲線y=f（x）的一條切線，切點是A，且l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè)），求切線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）= +2ax= （x＞0），

若a≥0，則f'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（0，+∞）；

若a＜0，由f′（x）＞0，得2ax2+1＞0，即 ，得0＜x＜ ，

由f′（x）＜0，得x＞ ．

∴函數(shù)的減區(qū)間為（ ，+∞），增區(qū)間為（0， ），

綜上：若a≥0，函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞）．

若a＜0，函數(shù)的增區(qū)間為（0， ），減區(qū)間為（ ，+∞）；

（2）設(shè)切點A（x0，f（x0）），x0＞0， ，

∴在點A處切線的斜率是 ．

∴切線方程為 ，

即 ．

l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象，即在點A的兩側(cè)，曲線y=f（x）在直線的兩側(cè)，

令 ，設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），

∴在x=x0附近兩側(cè)h（x）的值異號．

設(shè) ﹣lnx0，注意到h（x0）=0．

下面研究函數(shù)的單調(diào)性：

= = ．

當(dāng) 時：

x	（0，x0）	（x0， ）	（ ，+∞）
h′（x）	+	﹣	+
h（x）	增	減	增

∴當(dāng)x∈（0，x0）時，h（x）是增函數(shù)，則h（x）＜h（x0）=0，

當(dāng)x∈（ ，+∞）時，h（x）是減函數(shù)，則h（x）＜h（x0）=0．

∴h（x）在x=x0處取極大值，兩側(cè)附近同負，與題設(shè)不符；

同理，當(dāng)x0 時，h（x）在x=x0處取極小值，兩側(cè)附近同正，與題設(shè)不符；

故 ，即 時，h′（x）= ，∴h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

∴當(dāng)x∈（0，x0）時，h（x）＜h（x0）=0，當(dāng)x∈（ ，+∞），h（x）＞h（x0）=0符合題設(shè)．

∴ ，切線方程為 ．

【解析】（1）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再對a的值分情況判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）先設(shè)切點A（x0，f（x0）），x0＞0，進而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在A處的切線方程，再由已知條件轉(zhuǎn)化為在點A的兩側(cè)，曲線y=f（x）在直線的兩側(cè)，進而構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），從而可得在x=x0附近兩側(cè)h（x）的值異號，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）單調(diào)性，進而可得x0，從而可得切線l的方程．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．