Question

（1）已知P為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一點(diǎn)，Q為直線

x=t y=2t+6

上一點(diǎn)，求PQ最小值；
（2）在極坐標(biāo)系，圓O：ρ=cosθ+sinθ，直線l：ρsin（θ-

π

4

）=

2

2

，θ∈（0，π），求直線l與圓O交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：直線與圓,圓錐曲線中的最值與范圍問題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把橢圓化為參數(shù)方程，直線化為普通方程，求出橢圓上任意點(diǎn)P到直線l的距離的最小值；
（2）由ρ=cosθ+sinθ①，ρsin（θ-

π

4

）=

2

2

②組成方程組，求出θ、ρ的值，即得交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的參數(shù)方程是

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)），
直線

x=t y=2t+6

化為普通方程是y=2x+6，
即2x-y+6=0；
∴橢圓上點(diǎn)P（2cosθ，

3

sinθ）到直線l的距離是
PQ=

|4cosθ- 3 sinθ+6|

22+(-1)2

=

| 19 sin(θ-α)+6|

5

≥

|6- 19 |

5

，
當(dāng)sin（θ-α）=-1時，PQ取得最小值

|6- 19 |

5

=

95 -6 5

5

；
（2）∵ρ=cosθ+sinθ①，ρsin（θ-

π

4

）=

2

2

②，
由②得，ρsinθ-ρcosθ=1，
即sinθ-cosθ=

1

ρ

③；
①×③得，sin²θ-cos²θ=1，
∴cos2θ=-1；
又∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

，∴ρ=1；
∴直線l與圓O交點(diǎn)的極坐標(biāo)是（1，

π

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的交點(diǎn)問題與直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合題目．