Question

12．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁與a₃-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{{1+n（n+1）{a_n}}}{n（n+1）}（n∈{N^*}）$．求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和$S_n^{\;}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比q，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)b_n=2^n-1+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運(yùn)用分組求和和裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
a₂是a₁與a₃-1的等差中項(xiàng)，即有a₁+a₃-1=2a₂，
即為1+q²-1=2q，解得q=2，
即有a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）${b_n}=\frac{{1+n（n+1）{a_n}}}{n（n+1）}（n∈{N^*}）$=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$
=2^n-1+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和$S_n^{\;}$=（1+2+2²+…+2^n-1）+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+1-$\frac{1}{n+1}$=2ⁿ-$\frac{1}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．