Question

3．設(shè)F為拋物線C：y²=-12x的焦點(diǎn)，過(guò)拋物線C外一點(diǎn)A作拋物線C的切線，切點(diǎn)為B．若∠AFB=90°，則點(diǎn)A的軌跡方程為x=3．

Answer 1

分析 求出BA的方程和FA的方程，求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案．

解答 解：∵F為拋物線C：y²=-12x的焦點(diǎn)，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（$-\frac{{a}^{2}}{12}$，a），則切線BA的方程為：ay=-12（x$-\frac{{a}^{2}}{12}$）×$\frac{1}{2}$，即y=-$\frac{6}{a}$x+$\frac{a}{2}$，…①，
k_FB=$\frac{a}{3-\frac{{a}^{2}}{12}}$，
∵∠AFB=90°，
∴k_FA=$\frac{\frac{{a}^{2}}{12}-3}{a}$，
故FA的方程為：y=$\frac{\frac{{a}^{2}}{12}-3}{a}$（x+3），…②
由①②得：-$\frac{6}{a}$x+$\frac{a}{2}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{12}-3}{a}$（x+3）
即$\frac{\frac{{a}^{2}}{12}+3}{a}$x=$\frac{a}{2}$-$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}-9}{a}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+9}{a}$，
解得：x=3，
故點(diǎn)A的軌跡方程為x=3，
故答案為：x=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軌跡方程，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線的交點(diǎn)，難度中檔．