Question

已知函數(shù)f（x）=x²-3x+alnx（a＞0）．
（I）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）的切線斜率的最小值為1，求a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)大于0求得原函數(shù)的增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0求得原函數(shù)的減區(qū)間，從而得到極值點并求得極值；
（Ⅱ）由f（x）=2x-3+

a

x

的最小值為1，由a＞0得，2x-3+

a

x

≥2

2x• a x

-3=2

2a

-3，從而求出a的值．

解答： 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，
f（x）=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
由2x²-3x+1=0，得x₁=1x₂=

1

2

，
由2x²-3x+1＞0，得x＜

1

2

，或x＞1，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞）．
由2x²-3x+1＜0，得

1

2

＜x＜1，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

2

，1）．
∴f（x）極大值為f（

1

2

）=-

5

4

-ln2；極小值為f（1）=-2；
（Ⅱ）由f（x）=2x-3+

a

x

的最小值為1，
由a＞0得，2x-3+

a

x

≥2

2x• a x

-3=2

2a

-3，
∴2

2a

-3=1，
∴a=2．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，極值的求法，是一道中檔題．