Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,帶絕對值的函數(shù)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）轉(zhuǎn)化函數(shù)為分段函數(shù)，把關(guān)于x的不等式f（x）＞0轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，即可求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

-x-1，x＜- 1 2 3x+1，- 1 2 ≤x≤0 x+1，x＞0

，當x＜-

1

2

時，-x-1＞0，得x＜-1；
當-

1

2

≤x≤0時，3x+1＞0，得x＞-

1

3

；即，-

1

3

＜x≤0；
當x＞0時，x+1＞0，得x＞-1，可得x＞0；
綜上，不等式的解集為：{x|x＜-1或x＞-

1

3

}．
（Ⅱ）由（1）f（x）=

-x-1，x＜- 1 2 3x+1，- 1 2 ≤x≤0 x+1，x＞0

，
可知，f_min（x）=f（

1

2

）=-

1

2

．
若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，則實數(shù)m≥-

1

2

，
實數(shù)m的取值范圍：[-

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．