Question

設(shè)雙曲線C：

x2

2

-y²=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直子x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q．
（Ⅰ）求直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T（2，0）．過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l與（Ⅰ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)名A、B，設(shè)

FA

=λ

FB

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）利用三點(diǎn)共線建立方程，利用P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得軌跡方程
（Ⅱ）用坐標(biāo)表示

TA

+

TB

，利用韋達(dá)定理，求得模長(zhǎng)，從而可得函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求其范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M（x，y），
∵雙曲線C：

x2

2

-y²=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，∴A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，
∴由A₁、P、M三點(diǎn)共線，得(x0+

2

)y=y0(x+2)，…①
由A₂、Q、M三點(diǎn)共線，得(x0-

2

)y=y0(x-2)，…②
聯(lián)立③、④，解得x₀=

2

x

，y₀=

2 y

x

，
∵P（x₀，y₀）在雙曲線上，∴

( 2 x )2

2

+(

2 y

x

)2=1，
∴軌跡E的方程為

x2

2

+y²=1．（x≠0，y≠0）
（Ⅱ）由題意直線l的斜率不為0．故可設(shè)直線l的方程為x=ky+1，
代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數(shù)的關(guān)系，
得y₁+y₂=

-2k

k2+2

，…③，y₁y₂=

-1

k2+2

，…④
∵

FA

=λ

FB

，∴有

y1

y2

=λ，（λ＜0）
將③式平方除以④式，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=λ+

1

λ

+2=

-4k2

k2+2

，
由λ∈[-2，-1]，得-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0，
∴-

1

2

≤

-4k2

k2+2

≤0，∴0≤k2≤

2

7

，
∵

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
∴|

TA

+

TB

|²=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

，
令t=

1

k2+2

，∵0≤k2≤

2

7

，∴

7

16

≤

1

k2+2

≤

1

2

，即t∈[

7

16

，

1

2

]
∴|

TA

+

TB

|²=f（t）=8t²-28t+16=8（t-

7

4

）²-

17

2

，
而t∈[

7

16

，

1

2

]，∴f（t）∈[4，

169

32

]
∴|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．