Question

如圖，已知直角梯形ABCD與等腰直角△ABE所在平面垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）求二面角B-AE-D的正弦值；
（3）若在線段EA上存在一點(diǎn)F，使EC∥平面FBD，求線段EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，OD，由已知條件得EO⊥AB，OD⊥AB，由此能證明AB⊥DE．
（2）取AE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，DG，由已知條件得∠OGD為二面角B-AE-D的平面角，由此能求出二面角B-AE-D的正弦值．
（3）設(shè)ACBD交于點(diǎn)H，連結(jié)FH，由已知條件推導(dǎo)出F是線段EA的三等分點(diǎn)，由此能求出線段EF的長．

解答： （1）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，OD，
∵EA=EB，平面ABE⊥平面ABCD，
∴EO⊥AB，OD⊥AB，
∴AB⊥平面DEO，∴AB⊥DE．
（2）解：取AE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，DG，
∵DO⊥平面ABE，EA⊥EB，∴OG⊥EA，OD⊥EA，DG⊥EA，
∴∠OGD為二面角B-AE-D的平面角，
OG=

2

2

，OD=1，DG=

6

2

，
cos∠OGD=

OG

DG

=

3

3

，sin∠OGD=

6

3

．
∴二面角B-AE-D的正弦值為

6

3

．
（3）解：設(shè)ACBD交于點(diǎn)H，連結(jié)FH，
∵AB=2，CD=1，∴H是AC，BD的三等分點(diǎn)，
∵EC∥平面FBD，∴EC∥FH，
∴F是線段EA的三等分點(diǎn)，線段EF的長為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的平面角的求法，考查線段長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．