Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若點E在線段PC上，且PC=3PE，求三棱錐P-BDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用勾股定理證明CB⊥BD，由線面垂直的性質(zhì)證出CB⊥PD，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)換底面的方法，可求三棱錐E-BCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=1，∴BD=

2

，BC²=（CD-AB）²+AD²=2，
在△CBD中，由勾股定理的逆定理知，△CBD是直角三角形，且CB⊥BD，…（2分）
又PD⊥底面ABCD，∴CB⊥PD，…（4分）
∵PD⊥BC，BC⊥BD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．…（6分）
（Ⅱ）解：S△PDC=

1

2

×2×1=1，…（8分）
∵PC=3PE，∴S△PDE=

1

3

S△PDC=

1

3

，…（10分）
∴VP-BDE=VB-PDE=

1

3

×AD×S△PDE=

1

9

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．