Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁⊥平面ABC，點D，D₁分別是AB，A₁B₁的中點．
（1）求證：平面AC₁D₁∥平面CDB₁；
（2）求證：平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）若AC⊥BC，AC=AA₁，求異面直線AC₁與A₁B所成的角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導出四邊形ADB₁D₁為平行四邊形，從而得到AD₁∥平面CDB₁，同理，C₁D₁∥平面CDB₁，由此能證明平面AC₁D₁∥平面CDB．
（2）由線面垂直得AA₁⊥CD．∵由等腰三角形性質得CD⊥AB，從而得到CD⊥平面ABB₁A₁，由此能證明平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁．
（3）連接BC₁交B₁C于E，連接DE，取AA₁中點F，連接EF，由已知條件推導出∠EDF是異面直線AC₁與A₁B所成的角．由此能求出異面直線AC₁與A₁B所成的角．

解答： （1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵點D，D₁分別是AB，A₁B₁的中點，D₁B₁∥AD，
∴四邊形ADB₁D₁為平行四邊形，
∴AD₁∥DB₁，∵AD₁?平面CDB₁，∴AD₁∥平面CDB₁，
同理，C₁D₁∥平面CDB₁，
∵AD1∩D₁C₁=D₁，
∴平面AC₁D₁∥平面CDB．（4分）
（2）證明：∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD．∵AC=BC，D是AB的中點，
∴CD⊥AB，∵AA₁∩AB=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面ABC，
∴平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁．（9分）
（3）解：連接BC₁交B₁C于E，連接DE，
取AA₁中點F，連接EF，又∵D是AB中點，
∴AC₁∥DE，DF∥A₁B，
∴∠EDF是異面直線AC₁與A₁B所成的角．
設AC=DE=

2

2

，DF=

AF2+AD2

=

3

2

，EF=

5

2

，
∴DE²+DF²=EF²，∴∠EDF=90°，
∴異面直線AC₁與A₁B所成的角為90°．（13分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線的成的角的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．