已知拋物線C1：x2=2py（p＞0）與橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）在第一象限的公共點(diǎn)為A（2
2
，1），設(shè)拋物線C1的焦點(diǎn)為F，橢圓C2的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），△F1F2F的面積為6．
（Ⅰ）求拋物線C1和橢圓C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)A1，A2為橢圓C2的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C2上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線l：x=
a2
c
，l與直線A1P，A2P分別交于點(diǎn)M，N，試探究：在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得以線段MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）推廣（Ⅱ），得橢圓的一般性的正確命題，據(jù)此類比，得到雙曲線的一般性正確命題，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)雙曲線的正確命題（不必證明）．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）點(diǎn)A（2
2
，1）代入x2=2py，得（2
2
）2=2p，由此能求出拋物線C1的方程；拋物線的焦點(diǎn)為F（0，2），由△F1F2F的面積為6，得c=3，設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-9
=1，把點(diǎn)A（2
2
，1）代入，能求出橢圓C2的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），則
x02
12
+
y02
3
=1，由（Ⅰ）知A1(-2
3
，0)，A2(2
3
，0)，直線l：x=4，kPA1=
y0
x0+2
3
，kPA2=
y0
x0-2
3
，直線：PA1：y-0=
y0
x0+2
3
(x+2
3
)，直線PA2：y-0=
y0
x0-2
3
(x-2
3
)，由此入手結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出存在定點(diǎn)（3，0）或（5，0）符合題意．
（Ⅲ）根據(jù)橢圓的一般性的正確命題，總結(jié)規(guī)律，據(jù)此類比，能得到雙曲線的一般性正確命題．
解答： 解：（Ⅰ）點(diǎn)A（2
2
，1）代入x2=2py，得（2
2
）2=2p，解得p=4，
∴拋物線C1的方程為x2=8y．
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（0，2），
依題意S△FF1F2=
1
2
×|F1F2|×|OF|=
1
2
×2c×2=6，
解得c=3，
∴橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-9
=1，
把點(diǎn)A（2
2
，1）代入，得
(2
2
)2
a2
+
1
a2-9
=1，
解得a2=12或a2=6，
∵a2=6時(shí)，a=
6
＜3=c，不合題意，舍去，
∴a2=12，∴橢圓C2的方程為
x2
12
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），則
x02
12
+
y02
3
=1，
由（Ⅰ）知A1(-2
3
，0)，A2(2
3
，0)，
直線l：x=4，kPA1=
y0
x0+2
3
，kPA2=
y0
x0-2
3
，
直線：PA1：y-0=
y0
x0+2
3
(x+2
3
)，
直線PA2：y-0=
y0
x0-2
3
(x-2
3
)，
∴M(4，
y0
x0+2
3
(4+2
3
))，N（4，
y0
x0-2
3
(4-2
3
)），
假設(shè)存在定點(diǎn)D（m，0）符合題意，則
DM
•
DN
=0，
又
DM
=(4-m，
y0
x0+2
3
(4+2
3
))，
DN
=（4-m，
y0
x0-2
3
(4-2
3
)），
∴
DM
•
DN
=（4-m）2+
y02
x02-12
（42-12）=0，
即（4-m）2+4×
y02
x02-12
=0，
∵
x02
12
+
y02
3
=1，∴
y02
3
=1-
x02
12
=
12-x02
12
，
即
y02
x02-12
=-
1
4
，
代入，得(4-m)2+4×(-
1
4
)=0，
解得m=3或m=5，
∴存在定點(diǎn)（3，0）或（5，0）符合題意．
（Ⅲ）所得雙曲線的一般結(jié)論為：
設(shè)A1，A2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線l：x=
a2
c
（其中c為半焦距），l與直線A1P，A2P分別交于點(diǎn)M，N，則在x軸上存在定點(diǎn)D，使得以線段MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D，且定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（c，0），或（
2a2-c2
c
，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線和橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，考查雙曲線的一般結(jié)論的敘述，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知，PA垂直圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若BC=1，AB=
2
，PC=2，求二面角P-BC-A的平面角大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c．已知向量
m
=（2cos
A
2
，sin
A
2
），
n
=（cos
A
2
，-2sin
A
2
），
m
•
n
=-1．
（1）求cosA的值；
（2）若a=2
3
，求△ABC周長(zhǎng)的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在△ABC中，
AM
AB
=
1
3
，
AN
AC
=
1
4
，BN與CM交于點(diǎn)P，且
AP
=x
AB
+y
AC
（x，y∈R），則x+y=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=（m-1）2x m2-4m+2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=2x-k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，若A∪B=A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中，E、F分別為A1D1和A1B1的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AF和BE所成的角的余弦值；
（2）求平面ACC1與平面BFC1所成的銳二面角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P（1+cosα，sinα），參數(shù)α∈[0，π]，點(diǎn)Q在曲線C：ρ=
10
2
Sin(θ-
π
4
)
上．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程和曲線的直角坐標(biāo)方程：
（2）求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex+x-a
-x在[0，1]上有零點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）對(duì)（1）中a的最大值記為t，定義g（x）=（t）x，（x∈R），g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是g（x）圖象上的兩點(diǎn)，且g′（x0）=
y2-y1
x2-x1
，試判定x0，x1，x2大小，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)橢圓
x2
9
+
y2
5
=1左焦點(diǎn)F且不垂直于x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，則
|NF|
|AB|
=
 
．

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