Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求BC與平面BDE所成角的余弦值；
（3）線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明BE∥平面PAD，只需證明AF∥BE；
（2）過C作DE的垂線，交DE的延長線于N，連接BN，證明∠CBN就是直線BC與平面BDE所成角，從而可求BC與平面BDE所成角的余弦值；
（3）假設(shè)PC上存在點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD，則AM⊥PD，可得點(diǎn)M與E重合．取CD中點(diǎn)G，連接EG，AG，則BD⊥AG，證明PD⊥平面BCD，從而PD⊥AD，這與△PAD是等邊三角形矛盾．

解答： （1）證明：取PD中點(diǎn)F，連接AF，EF，則EF

∥ .

.

1

2

CD，
又BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，
∴AB

∥ .

.

1

2

CD，∴EF

∥ .

.

AB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形-------------------（2分）
∴AF∥BE，
又AF?平面PAD，BE?平面PAD
∴BE∥平面PAD-------（4分）
（2）解：過C作DE的垂線，交DE的延長線于N，連接BN
∵平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AF，
又AF⊥PD，PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD，
∴BE⊥平面PCD，
∴BE⊥CN，
又CN⊥DE，DE∩BE=E，
∴CN⊥平面BDE，
∴∠CBN就是直線BC與平面BDE所成角------（7分）
令A(yù)D=1，求得CN=

2 5

5

，BC=

2

，
∴sin∠CBN=

CN

BC

=

2

5

，
∴cos∠CBN=

15

5

，
故BC與平面BDE所成角的余弦值為

15

5

------（9分）
（3）解：假設(shè)PC上存在點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD，則AM⊥PD，由（2）AF⊥PD，
∴PD⊥平面AFM，
又PD⊥平面ABEF，故點(diǎn)M與E重合．----（11分）
取CD中點(diǎn)G，連接EG，AG，則BD⊥AG，
又BD⊥AE，AG∩AE=A，
∴BD⊥平面AEG，
∴BD⊥EG，
∴BD⊥PD，
又PD⊥CD，BD∩CD=D，
∴PD⊥平面BCD，
從而PD⊥AD，這與△PAD是等邊三角形矛盾．
故在線段PC上不存在點(diǎn)M滿足題意．-----------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查反證法的運(yùn)用，屬于中檔題．