Question

18．已知一個(gè)三棱錐的俯視圖與側(cè)（左）視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的表面積為$\sqrt{19}+\sqrt{3}+2$．

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，求出其各個(gè)面的面積，相加可得答案．

解答 解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，
其直觀圖如下所示：

其中AE=BC=CD=BD=2，
則DE=$\sqrt{3}$，AB=AC=$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{7}$，
△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
△BCD的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
△ABD和△ACD的三邊長(zhǎng)分別為2，$\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$，
則由海倫公式可得△ABD和△ACD的面積為：$\sqrt{\frac{2+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}•\frac{-2+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}•\frac{2-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}\frac{2+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$
故該三棱錐的表面積為：$\sqrt{19}$+$\sqrt{3}$+2，
故答案為：$\sqrt{19}$+$\sqrt{3}$+2

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．