Question

1．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{2x+m}$是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數f（x）在（-∞，-1）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）為奇函數，從而有f（-x）=-f（x），進一步得到$\frac{{x}^{2}+1}{-2x+m}=\frac{{x}^{2}+1}{-2x-m}$，這樣即可求出m=0；
（2）f（x）變成$f（x）=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，可看出f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，根據增函數的定義，可設任意的x₁＜x₂＜-1，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，證明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在（-∞，-1）上單調遞增．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x）；
即$\frac{{{x^2}+1}}{-2x+m}=-\frac{{{x^2}+1}}{2x+m}$；
∴$\frac{{{x^2}+1}}{-2x+m}=\frac{{{x^2}+1}}{-2x-m}$；
∴m=-m；
∴m=0；
（2）$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{2x}$在（-∞，-1）上是單調增函數；
證明：$f（x）=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，設x₁＜x₂＜-1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{2}+\frac{1}{2{x}_{1}}-\frac{{x}_{2}}{2}-\frac{1}{2{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂＜-1；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）＜0；
∴f（x）在（-∞，-1）上是單調增函數．

點評 考查奇函數的定義，增函數的定義，根據增函數的定義判斷并證明一個函數為增函數的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．