Question

16．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=1，且2f′（x）＞1，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]時(shí)，不等式f（2cosx）＞$\frac{3}{2}$-2sin²$\frac{x}{2}$的解集為（　�。�

• A． （$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$）
• B． （-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$）
• C． （0，$\frac{π}{3}$）
• D． （-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}x$$-\frac{1}{2}$，可得g（x）在定義域R上是增函數(shù)，且g（1）=0，進(jìn)而根據(jù)f（2cosx）＞$\frac{3}{2}$-2sin²$\frac{x}{2}$可得2cosx＞1，解得答案．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}x$$-\frac{1}{2}$，
則g′（x）=f′（x）$-\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x）在定義域R上是增函數(shù)，
且g（1）=f（1）$-\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$=0，
∴g（2cosx）=f（2cosx）-cosx$-\frac{1}{2}$=f（2cosx）-cosx$-\frac{1}{2}$，
令2cosx＞1，
則g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞$\frac{1}{2}$+cosx，
又∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，且2cosx＞1
∴x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．