Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且軸，直線交軸于點(diǎn)， ， 為橢圓的上頂點(diǎn)， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)的直線交橢圓于， ，且滿足，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】【試題分析】(1)將代入橢圓方程,求得點(diǎn)的縱坐標(biāo),利用中點(diǎn)的坐標(biāo)建立一個(gè)方程.利用的面積聯(lián)立第二個(gè)方程,結(jié)合,解方程組求得的值,即求得橢圓的方程.(2)對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)得.當(dāng)直線斜率不存在時(shí),求得兩點(diǎn)的坐標(biāo),驗(yàn)證可知不符合題意.當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線方程和橢圓的方程,消去后斜率韋達(dá)定理,利用得,列方程求得直線的斜率.最后利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得三角形面積.

【試題解析】

（1）設(shè)，由題意可得，即.

∵是的中位線，且，∴，即，整理得.①

又由題知， 為橢圓的上頂點(diǎn)，∴的面積，

整理得，即，②

聯(lián)立①②可得，變形得，解得，進(jìn)而.

∴橢圓的方程為.

(2)由可得，兩邊平方整理得.

直線斜率不存在時(shí)， ， ，不滿足.

直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， ， ，

聯(lián)立，消去，得，

∴， ，（*）

由得.

將， 代入整理得，

展開(kāi)得，

將（*）式代入整理得，解得，

∴， ，

的面積為 ，

代入計(jì)算得，即的面積為.