Question

已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0），圓C₂：x²+y²-8y+12=0的圓心M到拋物線C₁的準(zhǔn)線的距離為

9

2

，點(diǎn)P是拋物線C₁上一點(diǎn)，過點(diǎn)P，M的直線交拋物線C₁于另一點(diǎn)Q，且|PM|=2|MQ|，過點(diǎn)P作圓C₂的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程； 
（Ⅱ）求直線PQ的方程及

PA

•

PB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出4+

p

2

=

9

2

，由此能求出拋物線C₁的方程．
（Ⅱ）設(shè)PQ的方程：y=kx+4，由

y=kx+4 x2=2y

，得x²-2kx-8=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線PQ的方程及

PA

•

PB

的值．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）C2：x2+(y-4)2=4，∴M（0，4），…（1分）
拋物線C1：x2=2py的準(zhǔn)線方程是y=-

p

2

，
依題意：4+

p

2

=

9

2

，∴p=1，…（3分）
∴拋物線C₁的方程為：x²=2y．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)PQ的方程：y=kx+4，
由

y=kx+4 x2=2y

，得x²-2kx-8=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

PM

=(-x1，4-y1)，

MQ

=(x2，y2-4)，
∵|PM|=2|MQ|，∴

PM

=2

MQ

，∴-x₁=2x₂，…①
又x₁+x₂=2k，…②，x₁x₂=-8，…③，
由①②③得k=±1，
∴PQ的方程為：y=±x+4．…（9分）
取PQ的方程：y=x+4，和拋物線x²=2y，聯(lián)立得P點(diǎn)坐標(biāo)為P（4，8）
∴|

PM

|=4

2

，連接AM，BM，|

PA

|=|

PB

|=

PM2-PA2

=2

7

，
設(shè)∠APM=α，則sinα=

AM

PM

=

2

4 2

=

2

4

，…（11分）
∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|cos2α
=28（1-2sin²α）=21．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．