Question

【題目】如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E為CD中點，AE與BD交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置（P平面ABCE）．

（Ⅰ）證明：平面POB⊥平面ABCE；

（Ⅱ）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角A-PE-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）證明OP⊥AE，OB⊥AE，得到AE⊥平面POB，即可證明平面POB⊥平面ABCE；

（Ⅱ）以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面平面PCE的一個法向量，平面PAE的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A﹣P﹣EC的余弦值．

（Ⅰ）證明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE為等邊三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE,

即在△PAE中，OP⊥AE，

∴AE⊥平面POB，AE平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE；

（Ⅱ）在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．

∴直線PB與平面ABCE夾角為，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q兩點重合，

即OP⊥平面ABCE，以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，各點坐標(biāo)為，，，

∴，，

設(shè)平面PCE的一個法向量為，

則，即，設(shè)，

則y=-1，z=1，∴，

由題意得平面PAE的一個法向量，

設(shè)二面角A-P-EC為α，．

即二面角A-P-EC為α的余弦值為．