Question

等邊三角形的邊長為3，點、分別是邊、上的點，且滿足（如圖4）．將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結、

（如圖5）．

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）因為等邊△的邊長為3，且，

所以，．

在△中，，

由余弦定理得．

因為，

所以．

折疊后有．因為二面角是直二面角，所以平面平面．

又平面平面，平面，，

所以平面．

（2）解：由（1）的證明，可知，平面．

    以為坐標原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系如圖．

設，

則，，．

所以，，．

所以．因為平面，

所以平面的一個法向量為．因為直線與平面所成的角為，

所以…………10分

，

解得．

即，滿足，符合題意．

所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時．