Question

10．設(shè)函數(shù)g（x）=x²f（x），若函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對任意實數(shù)x滿足x²f′（x）＞2xf（-x），則不等式g（x）＜g（1-3x）的解集是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{4}，+∞}）$
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． $（{-∞，\frac{1}{4}}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{4}}）∪（{\frac{1}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 由題意和乘積的導(dǎo)數(shù)可得奇函數(shù)g（x）=x²f（x）在R上單調(diào)遞增，可化原不等式為x＜1-3x，解之可得．

解答 解：由題意可得函數(shù)g（x）=x²f（x）為R上的奇函數(shù)，
∵x²f′（x）＞2xf（-x），∴x²f′（x）+2xf（x）＞0，
∴g′（x）=x²f（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0，
∴奇函數(shù)g（x）=x²f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴不等式g（x）＜g（1-3x）可化為x＜1-3x，
解得x＜$\frac{1}{4}$
故選：C

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性，屬基礎(chǔ)題．