Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x，（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；    
（2）求使f（x）≥2的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、倍角公式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由f（x）≥2，即

2

sin(2x+

π

4

)+1≥2，化為sin(2x+

π

4

)≥

2

2

．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+1+cos2x
=sin2x+cos2x+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）．
（2）由f（x）≥2，即

2

sin(2x+

π

4

)+1≥2，化為sin(2x+

π

4

)≥

2

2

．
∴2kπ+

π

4

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

4

，解得kπ≤x≤kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴使f（x）≥2的x的取值范圍是[kπ，kπ+

π

4

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．