Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinx+sin（$\frac{π}{2}$-x）x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值；
（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的最大值求得f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的增區(qū)間求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sinx+sin（$\frac{π}{2}$-x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的最小正周期為2π．
（2）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）可得它的最大值為$\sqrt{2}$，此時(shí)，x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
（3）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ$，
故函數(shù)的增區(qū)間為$[{2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}}]k∈Z$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、最大值以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．