Question

已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0）
（Ⅰ）求證：AC⊥BF；
（Ⅱ）若二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）在△ACD中，由題設(shè)條件推導(dǎo)出CD⊥CA，由ABCD是平行四邊形，知CA⊥AB，由直線垂直于平面的性質(zhì)得到AC⊥BF．
（Ⅱ）以CD為x軸，CA為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)條件分別求出平面ABD和平面FBD的法向量，用向量法，利用二面角F-BD-A的大小為60°，即可求a的值．

解答： （Ⅰ）證明：在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴AC²+CD²=AD²，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF；
（Ⅱ）解：∵平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD為x軸，CA為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，

3

，0），F(xiàn)（0，

3

，a），B（-1，

3

，0），
∴

FB

=（-1，0，-a），

FD

=（1，-

3

，-a），
平面ABD的法向量

n

=（0，0，1），設(shè)平面FBD的法向量

m

=（x，y，z），
則

-x-az=0 x- 3 y-az=0

，
∴

m

=（-a，-

2a

3

，1），
∴cos60°=|cos＜

n

，

m

＞|=

1

a2+ 4 3 a2+1

=

1

2

．
∴a=

3 7

7

．???????????????????

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量法的運(yùn)用，屬于中檔題．