Question

若實(shí)數(shù)x，y，m滿(mǎn)足|x-m|＞|y-m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m．
（Ⅰ）若x-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，證明：

a2+b2

2

比（

a+b

2

）²遠(yuǎn)離ab．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得：|x-1|＞1，解之即可求得x的取值范圍；
（Ⅱ）證法1：利用“x比y遠(yuǎn)離m”的定義，可分別求得|

a2+b2

2

-ab|=

a2+b2

2

-ab，|（

a+b

2

）²-ab|=（

a+b

2

）²-ab，二者作差即可證得結(jié)論成立；
證法2：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明|

a2+b2

2

-ab|＞|(

a+b

2

)2-ab|，同理可得，需證

a2+b2

2

-ab＞（

a+b

2

）²-ab，該不等式易證，從而可得結(jié)論成立．

解答： 本題滿(mǎn)分（12分）．
解：（Ⅰ）由題意得：|x-1|＞1…（2分）∴x-1＜-1或x-1＞1…（4分）∴x＜0或x＞2…（5分）
（Ⅱ）證法1：|

a2+b2

2

-ab|=|

(a-b)2

2

|=

a2+b2

2

-ab…（7分）
而|(

a+b

2

)2-ab|=|(

a-b

2

)2|=(

a+b

2

)2-ab，…（9分）
從而 |

a2+b2

2

-ab|-|(

a+b

2

)2-ab|=

a2+b2

2

-ab-[(

a+b

2

)2-ab]=

a2+b2-2ab

4

=

(a-b)2

4

＞0…（11分）
即|

a2+b2

2

-ab|＞|(

a+b

2

)2-ab|；命題得證．                   …（12分）
證法2：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明|

a2+b2

2

-ab|＞|(

a+b

2

)2-ab|；  …（7分）
因?yàn)閍≠b，所以

a2+b2

2

＞ab，同理

(a+b)2

2

＞ab，…（9分）
于是待證不等式變形為

a2+b2

2

-ab＞

(a+b)2

2

-ab，…（10分）
于是等價(jià)于

a2+b2-2ab

4

=

(a-b)2

4

＞0，
因?yàn)閍，b是不等正數(shù)，所以該式顯然成立．             …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查推理（歸納推理）與證明等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、推理論證能力．考查特殊與一般的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．