【題目】設(shè)f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2
(1)當(dāng)x=1時,f(x)取到極值,求a的值;
(2)當(dāng)a滿足什么條件時,f(x)在區(qū)間 上有單調(diào)遞增的區(qū)間.

【答案】
(1)解:由題意知f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),

且f′(x)= ﹣1﹣2ax= ,

當(dāng)x=1時,f(x)取到極值,∴f′(1)=0,解得a=﹣ ;

當(dāng)a=﹣ 時,f′(x)= 在(0,1)上小于0,f(x)是減函數(shù),

f′(x)= 在(1,+∞)上大于0,f(x)是增函數(shù),

∴f(1)是函數(shù)的極小值,∴a的值為﹣


(2)解:要使f(x)在區(qū)間[ ,﹣ ]上有單調(diào)遞增的區(qū)間,

即f′(x)>0在[﹣ ,﹣ ]上有解,∴2ax+(2a+1)>0;

(i)當(dāng)a=0是,有1>0,上述不等式恒成立,∴a=0滿足條件;

(ii)當(dāng)a>0時,有x>﹣ ,此時只要﹣ <﹣ ,解得:a>﹣ ,∴取a>0;

(iii)當(dāng)a<0時,有x<﹣ ,此時只要﹣ >﹣ ,解得:a>﹣1,∴取﹣1<a<0;

綜上,a滿足的條件是:a∈(﹣1,+∞)


【解析】(1)當(dāng)x=1時,f(x)取到極值,即f′(1)=0,解得a的值;(2)f(x)在區(qū)間[ ,﹣ ]上有單調(diào)遞增的區(qū)間,即f′(x)>0時在[﹣ ,﹣ ]上有解,解含參數(shù)的不等式.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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