【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx和g(x)=lnx. (Ⅰ) 若a=b=1,求證:f(x)的圖象在g(x)圖象的上方;
(Ⅱ) 若f(x)和g(x)的圖象有公共點P,且在點P處的切線相同,求a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)證明:若a=b=1,即有f(x)=x2+x,

令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2+x﹣lnx,h′(x)=2x+1﹣ =

= ,x>0,

當x> 時,h′(x)>0,h(x)遞增;當0<x< 時,h′(x)<0,h(x)遞減.

可得h(x)在x= 處取得極小值,且為最小值,且h( )= + ﹣ln >0,

即有h(x)>0恒成立,則f(x)的圖象在g(x)圖象的上方;

(Ⅱ)設(shè)P的坐標為(m,n),

f(x)=ax2+bx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2ax+b,

g(x)=lnx的導(dǎo)數(shù)為g′(x)= ,

可得2am+b= ,且n=am2+bm=lnm,

消去b,可得am2+1﹣2am2=lnm,

可得a= (m>0),

令u(m)= (m>0),

則u′(m)= ,

當m>e 時,u′(m)>0,u(m)遞增;當0<m<e 時,u′(m)<0,u(m)遞減.

可得u(m)在m=e 處取得極小值,且為最小值,且u(e )= =﹣ ,

則a≥﹣ ,

故a的取值范圍是[﹣ ,+∞)


【解析】(Ⅰ)令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2+x﹣lnx,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得極小值,且為最小值,判斷最小值大于0,即可得證;(Ⅱ)設(shè)P的坐標為(m,n),分別求出f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,即有2am+b= ,且n=am2+bm=lnm,消去b,可得a= (m>0),令u(m)= (m>0),求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,即可得到所求范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對角線,弧的圓心是A,半徑為AB,正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn),求圖中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2
(1)當x=1時,f(x)取到極值,求a的值;
(2)當a滿足什么條件時,f(x)在區(qū)間 上有單調(diào)遞增的區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某數(shù)學教師對所任教的兩個班級各抽取20名學生進行測試,分數(shù)分布如表,若成績120分以上(含120分)為優(yōu)秀.

分數(shù)區(qū)間

甲班頻率

乙班頻率

[0,30)

0.1

0.2

[30,60)

0.2

0.2

[60,90)

0.3

0.3

[90,120)

0.2

0.2

[120,150]

0.2

0.1

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

總計

甲班

乙班

總計

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

(Ⅰ)求從乙班參加測試的90分以上(含90分)的同學中,隨機任取2名同學,恰有1人為優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成上面的2×2列聯(lián)表:在犯錯概率小于0.1的前提下,你是否有足夠的把握認為學生的數(shù)學成績是否優(yōu)秀與班級有關(guān)?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某工廠2萬元設(shè)計了某款式的服裝,根據(jù)經(jīng)驗,每生產(chǎn)1百套該款式服裝的成本為1萬元,每生產(chǎn)(百套)的銷售額(單位:萬元).

(1)若生產(chǎn)6百套此款服裝,求該廠獲得的利潤;

(2)該廠至少生產(chǎn)多少套此款式服裝才可以不虧本?

(3)試確定該廠生產(chǎn)多少套此款式服裝可使利潤最大,并求最大利潤.(注:利潤=銷售額-成本,其中成本=設(shè)計費+生產(chǎn)成本)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若直線AB1與直線A1C的夾角的余弦值是 ,則棱AB的長度是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E是棱PD的中點,點F是PC的中點. (Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若底面ABCD為正方形, ,求二面角C﹣AF﹣D大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知等腰梯形中(如圖1),, , , 邊上一點,且,沿折起,使平面平面如圖2.

(1)證明:平面平面;

(2)試在棱上確定一點,使截面把幾何體分成的兩部分.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD的中點.

1證明:PE⊥BC;

2若∠APB=∠ADB=60°,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案