若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則f（x）的最大值是
 
．
考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：本題考查由圖象對(duì)稱確定待定系數(shù)的方法及通過導(dǎo)數(shù)求最值的方法．
解答： 由函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱可知，
f（2）=f（4），f（1）=f（5）．
即
2b+9a+38=0
25+5a+b=0
，
解得：
a=-12
b=35
．
則f（x）=（1-x2）（x2-12x+35）=-x4+12x3-34x2-12x+35，
則令f′（x）=-4（x-3）（x2-6x-1）=0，
解得：x=3或x=3±
10
．
而f(3)=-64，f(3±
10
)=36．
故答案為：36．
法二：f（x）=（1-x2）（x2-12x+35）
=（1-x）（x-5）（1+x）（x-7）
=（-x2+6x-5）（x2-6x-7）≤
1
2
(-5-7)2=36；
（當(dāng)且僅當(dāng)-x2+6x-5=x2-6x-7，即x=3±
10
時(shí)，等號(hào)成立．）
故答案為：36．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，考查圖象與函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

空間直角坐標(biāo)系中，A（1，0，2），B（t，2，-1），則線段AB長(zhǎng)度的最小值是
 
．

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函數(shù)y=x3-3x在點(diǎn)（1，-2）處的切線方程為
 
．

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下列說法：
①設(shè)α，β都是銳角，則必有sin（α+β）＜sinα+sinβ；
②在△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，則△ABC為銳角三角形；
③在△ABC中，若A＜B，則cos2A＜cos2B；
則其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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已知二元一次方程組
x+y=6
-x+y=1
，則Dy的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

∫
3
2
1-(x-3)2
dx=
 
．

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已知i是虛數(shù)單位，則i2014=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex+alnx的定義域是D，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對(duì)于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的減函數(shù)；
②對(duì)于任意a∈（-∞，0），函數(shù)f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得對(duì)于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是（　�。�
A、①②B、②③C、②④D、③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=sinx（1+tanx•tan
x
2
）的最小正周期為（　　）
A、π
B、2π
C、
π
2
D、
3π
2

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