Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

-

3 +1

2

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并寫出函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）當x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）首先對函數(shù)進行降冪，逆用二倍角公式，再利用輔角公式，寫成三角函數(shù)的可以求解性質(zhì)的標準形式，做出周期和對稱軸方程．
（2）根據(jù)上一問做出的結果和這一問所給的函數(shù)的自變量的取值，寫出函數(shù)式種角的范圍，根據(jù)正弦曲線得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

-

3 +1

2

=(

1

2

sinx-

3

2

cosx)-

1

2

=sin(x-

π

3

)-

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
由x-

π

3

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

5π

6

，k∈z
∴函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程為x=kπ+

5π

6

，k∈z
（2）由（1）得：f(x)=sin(x-

π

3

)-

1

2

∵x∈[0，π]，所以x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
于是-

3

2

≤sin(x-

π

3

)≤1
∴函數(shù)f（x）的值域為[-

3 +1

2

，

1

2

]

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì)的運算，解題的關鍵是前面整理函數(shù)的式子不要出錯，不然后面的結果都是錯誤的．