Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，PC=

5

，PD=2，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動．
（Ⅰ）點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時，試判斷PC與平面AEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）求證：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）當(dāng)BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用勾股定理證明PA⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，證明

CP

=（-

3

，-1，1）=

1

2

EF

，即可證明PC∥平面AEF；
（II）證明

PE

•

AF

=0即可；
（Ⅲ）求出平面PDE的一個法向量，利用PA與平面PDE所成角為45°，可得sin45°=

2

2

=

3

1+( 3 -a)2+3

，即可求出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵PA=AB=1，AD=

3

，PC=

5

，PD=2，
∴PA²+AD²=PD²，PA²+AC²=PA²+AD²+DC²=PC²，
∴PA⊥AD，PA⊥AC
∵AD∩AC=A，
∴PA⊥平面ABCD
分別以

AD

，

AB

，

AP

為Ox軸，Oy軸，Oz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B（0，1，0），C（

3

，1，0），D（

3

，0，0），P（0，0，1），F(xiàn)（0，

1

2

，

1

2

）．
當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時，E（

3

2

，1，0）
∴

EF

=（-

3

2

，-

1

2

，

1

2

）
又

CP

=（-

3

，-1，1）=

1

2

EF

∴CP∥EF．
又PC?平面AEF，而EF?平面AEF，
∴PC∥平面AEF．
（II）證明：設(shè)BE=a（0≤a≤

3

），則E（a，1，0），

PE

•

AF

=（a，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
∴PE⊥AF．
（III）解：設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PDE的一個法向量，
由

3 x-z=0 ax+y-z=0

，取

n

=（1，

3

-a，

3

）．
而

AP

=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45°，
∴sin45°=

2

2

=

3

1+( 3 -a)2+3

，
得BE=a=

3

-

2

或BE=a=

3

+

2

＞

3

（舍去）．
故BE=

3

-

2

時，PA與平面PDE所成角為45°．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，異面直線垂直判定、異面直線所成角的求法，在適合建立空間坐標(biāo)系的情況下，轉(zhuǎn)化為用空間坐標(biāo)系中的向量法解決，較為簡捷．