Question

如圖，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a．
（1）求證：AF⊥BC；
（2）求二面角B-AF-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明FC⊥BC，BC⊥AC，可得BC⊥平面ACFE，即可證明AF⊥BC；
（2）過C作CG⊥AF于G點(diǎn)，連BG，則∠BGC為所求角，求出tan∠BGC=

3

，可求二面角B-AF-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，
∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥BC，
∵AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，
∴BC⊥AC，
∵FC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACFE，
∴AF⊥BC；
（2）解：過C作CG⊥AF于G點(diǎn)，連BG
又AF⊥BC，故AF⊥平面BCG，于是∠BGC為所求角．
在△BGC中，BC=

2

a，CG=

AC•CF

AF

=

6

3

a，
于是tan∠BGC=

3

，∴cos∠BGC=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題．