Question

已知向量

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），其中a＞0，若f（x）=

a

•

b

的圖象與y=m（m＞0）相切，且切點(diǎn)橫坐標(biāo)成公差為π的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a和m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（

A

2

）=

3

2

，且BC=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角和的余弦公式，化簡f（x），再由相切可得m為f（x）的最大值，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a=1；
（Ⅱ）由f（x）的解析式，可得A，再由余弦定理和基本不等式，可得bc的最大值為16，運(yùn)用三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），其中a＞0，
則f（x）=

a

•

b

=

3

cos²ax-sinaxcosax=

3

2

（1+cos2ax）-

1

2

sin2ax=

3

2

+cos（2ax+

π

6

），
若f（x）圖象與y=m（m＞0）相切，則m為f（x）的最大值，即為1+

3

2

；
又切點(diǎn)橫坐標(biāo)成公差為π的等差數(shù)列，由2ax+

π

6

=2kπ，即有x=

k

a

π-

π

12

，k∈Z，
即有a=1．
（Ⅱ）在△ABC中，若f（

A

2

）=

3

2

，
則

3

2

+cos（A+

π

6

）=

3

2

，
即有cos（A+

π

6

）=0，
由A為三角形的內(nèi)角，則A+

π

6

=

π

2

，
即A=

π

3

，
且BC=4，由余弦定理可得4²=b²+c²-2bccosA，
即有16=b²+c²-bc≥2bc-bc，即有bc≤16，
則△ABC面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤4

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4，三角形的面積取得最大值4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，運(yùn)用基本不等式求最值是解題的關(guān)鍵．