Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，圓的方程為，動(dòng)圓與圓內(nèi)切且與圓外切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(2)已知與為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于,兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)6

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立可得，通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系表示弦長(zhǎng)進(jìn)而得到四邊形面積的表達(dá)式，利用換元法及均值不等式求最值即可.

試題解析：

(1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意知

從而有，故軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

并去 除點(diǎn)，從而軌跡的方程為.

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立，

消去得，設(shè)點(diǎn)，

有則，

點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，

從而四邊形的面積

令，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

有，故，即四邊形面積的最大值為.