設(shè)向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=1，|3
a
-
b
|=
5
．
（1）求|
a
+3
b
|的值；
（2）求3
a
-
b
與
a
+3
b
夾角的正弦值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用數(shù)量積運算及其性質(zhì)即可得出；
（2）利用向量的夾角公式和數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：（1）∵向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=1，|3
a
-
b
|=
5
．
∴5=9
a
2+
b
2-6
a
•
b
=9+1-6
a
•
b
，∴
a
•
b
=
5
6
．
因此(
a
+3
b
)2=
a
2+9
b
2+6
a
•
b
=1+9+6×
5
6
=15，
∴|
a
+3
b
|=
15
．
（2）設(shè)3
a
-
b
與
a
+3
b
夾角為θ，
∵(3
a
-
b
)•(
a
+3
b
)=3
a
2+8
a
•
b
-3
b
2=3+8×
5
6
-3=
20
3
．
∴cosθ=
(3
a
-
b
)•(
a
+3
b
)
|3
a
-
b
| |
a
+3
b
|
=
20
3
5
×
15
=
4
3
9
．
∵θ∈[0，π]，∴sinθ=
1-cos2θ
=
1-(
4
3
9
)2
=
33
9
．
∴3
a
-
b
與
a
+3
b
夾角的正弦值為
33
9
．
點評：本題考查了數(shù)量積的運算及其性質(zhì)、向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，2），
b
=（x，-6），若
a
∥
b
，則x的值為（　�。�
A、-3B、3C、12D、-12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）可導，則f′（x0）等于（　�。�
A、
lim
x→x0
f(x)-f(x0)
x0
B、
lim
x→x0
f(x)-f(x0)
x-x0
C、
lim
x→x0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
D、
lim
x→x0
f(x0-△x)-f(x0)
△x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-1，證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（6，4）及圓C：x2+y2-6x+4y+4=0
（1）當直線l過點P且與圓C相切，求直線l的方程；
（2）設(shè)過點P的直線與圓C交于A、B兩點，當|AB|=3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，AC=
10
，cos∠C=
2
5
5
，點D是AB的中點，求：
（1）邊AB的長；
（2）cosA的值和中線CD的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，置橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形．
（l）求橢圓的方程；
（2）若以k（k≠0）為斜率的直線l與橢圓E相交于兩個不同的點A，B，且線段AB的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
1
16
，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(
an
，an+1)（n∈N*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=bn+2an，求數(shù)列{bn}的通項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上．若橢圓上的點A(1，
3
2
)到焦點F1、F2的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，當△OMN的面積取得最大值時，求直線MN的方程．

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