Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量

m

=（2，-2），向量

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC為鈍角三角形，且2sin²C+

3

sin2C-1-

3

=0，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)，以及兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0列出關(guān)系式，求出cosA的值，即可確定出A的大小；
（Ⅱ）已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，求出C的度數(shù)，由A的度數(shù)求出B的度數(shù)，求出三角形面積即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2，-2），向量

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

，
∴2cosBcosC-2sinBsinC+

3

=0，即cos（B+C）=-cosA=-

3

2

，
∴cosA=

3

2

，
則A=

π

6

；
（Ⅱ）2sin²C+

3

sin2C-1-

3

=

3

sin2C-cos2C-

3

=0，
變形得：sin（2C-

π

6

）=

3

2

，
∴2C-

π

6

=

π

3

或2C-

π

6

=

2π

3

，
即C=

π

4

或C=

5π

12

，
當(dāng)C=

π

4

時(shí)，A=

π

6

，B=

7π

12

，符合題意，
如圖所示，BC=a=2，
在Rt△BCD中，∠C=

π

4

，
∴BD=CD=

2

，
在Rt△ABD中，BD=

2

，∠A=

π

6

，
∴AB=2

2

，AD=

6

，
此時(shí)△ABC面積為

1

2

AC•BD=

1

2

×（

2

+

6

）×

2

=1+

3

；
當(dāng)C=

5π

12

時(shí)，A=

π

6

，B=

5π

12

，不合題意，舍去，
則△ABC的面積為1+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．