Question

已知函數(shù)f（x）=e^xsin（

3

x+φ）（0＜φ＜π）且

3

3

π是函數(shù)f（x）的一個極值點，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x），求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x＞0時，|f′（x）|＜2

3

xe^x．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（x）=e^xsin（

3

x+φ），得f（x）=e^x[sin（

3

x+φ）]=0，tanφ=-

3

，從而φ=

2π

3

；
（Ⅱ）由f′（x）=e^x[sin（

3

x+

2π

3

）+

3

cos（

3

x+

2π

3

）]=-2e^xsin

3

x，即g（x）=-2e^xsin

3

x，得到g′（x）=-4e^xsin（

3

x+

π

3

），由2kπ-π≤

3

x+

π

3

≤2kπ，即

2kπ- 4 3 π

3

≤x≤

2kπ- π 3

3

，故[

2kπ- 4 3 π

3

，

2kπ- π 3

3

]（k∈Z）是單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）|f′（x）|=2e^x|sin

3

x|，只需證明|sin

3

x|＜

3

x，令t=

3

x＞0，只需證明t＞0時，h（t）=|sint|-t＜0，t≥

π

2

時，不等式顯然成立，
0＜t＜

π

2

時，h（t）=sint-t，h′（t）=cost-1＜0，從而t＞0時，h（t）＜h（0）=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^xsin（

3

x+φ），
∴f（x）=e^x[sin（

3

x+φ）]=0，tanφ=-

3

，
∴φ=

2π

3

；
（Ⅱ）f′（x）=e^x[sin（

3

x+

2π

3

）+

3

cos（

3

x+

2π

3

）]，
=2e^xsin（

3

x+π）
=-2e^xsin

3

x，
即；g（x）=-2e^xsin

3

x，
∴g′（x）=-2（e^xsin

3

x+

3

e^xcos

3

x）
=-4e^xsin（

3

x+

π

3

），
∴2kπ-π≤

3

x+

π

3

≤2kπ，
即

2kπ- 4 3 π

3

≤x≤

2kπ- π 3

3

，
故[

2kπ- 4 3 π

3

，

2kπ- π 3

3

]（k∈Z）是單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）|f′（x）|=2e^x|sin

3

x|，
只需證明|sin

3

x|＜

3

x，
令t=

3

x＞0，
只需證明t＞0時，h（t）=|sint|-t＜0，
t≥

π

2

時，不等式顯然成立，
0＜t＜

π

2

時，h（t）=sint-t，h′（t）=cost-1＜0，
∴t＞0時，h（t）＜h（0）=0．

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，不等式的證明，是一道綜合題．