Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+x2﹣x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R． （Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（0，1）處的切線l與曲線y=g（x）切于點（1，c），求a，b，c的值；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）F（x）=ex﹣2x﹣b，則F'（x）=ex﹣2．

令F'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．

令F'（x）=ex﹣2＜0，得x＜ln2，所以F（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）因為f'（x）=ex+2x﹣1，所以f'（0）=0，所以l的方程為y=1．

依題意， ，c=1．

于是l與拋物線g（x）=x2﹣2x+b切于點（1，1），

由12﹣2+b=1得b=2．

所以a=﹣2，b=2，c=1．

（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣（a+1）x﹣b，則h（x）≥0恒成立．

易得h'（x）=ex﹣（a+1）．

⑴當a+1≤0時，

因為h'（x）＞0，所以此時h（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．

①若a+1=0，則當b≤0時滿足條件，此時a+b≤﹣1；

②若a+1＜0，取x0＜0且 ，

此時 ，所以h（x）≥0不恒成立．

不滿足條件；

⑵當a+1＞0時，

令h'（x）=0，得x=ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；

由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．

所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上單調(diào)遞減，在（ln（a+1），+∞）上單調(diào)遞增．

要使得“h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立”，必須有：

“當x=ln（a+1）時，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0”成立．

所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．則a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1．

令G（x）=2x﹣xlnx﹣1，x＞0，則G'（x）=1﹣lnx．

令G'（x）=0，得x=e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；

由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，

所以，當x=e時，G（x）max=e﹣1．

從而，當a=e﹣1，b=0時，a+b的最大值為e﹣1．

綜上，a+b的最大值為e﹣1

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切線方程求出a，b，c的值即可；（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，問題轉(zhuǎn)化為b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1），得到a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1，

令G（x）=2x﹣xlnx﹣1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a+b的最大值即可．

【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．