Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂+a₄=6，且對(duì)任意n∈N^*，函數(shù)f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1•cosx-a_n+2sinx滿足f′（

π

2

）=0，若c_n=

1

an•an+1

，則數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意，由f′（

π

2

）=0可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式a_n=n，又c_n=

1

an•an+1

，利用裂項(xiàng)法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：∵f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1•cosx-a_n+2sinx，
∴f′（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）-a_n+1•sinx-a_n+2cosx，
∴f′（

π

2

）=a_n-a_n+1+a_n+2-a_n+1=0，
∴2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，又a₁=1，a₂+a₄=2a₁+4d=6，
∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
又c_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案為：

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出考查裂項(xiàng)法求和，通過(guò)f′（

π

2

）=0得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．