【題目】記無窮數(shù)列的前n項中最大值為,最小值為,令,數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為.
(1)若數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,求;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,試問數(shù)列是否也一定是等差數(shù)列?若是,請證明;若不是,請舉例說明;
(3)若,求.
【答案】(1);(2)見解析;(3),
【解析】
(1)由題意求得和,即得,利用等比數(shù)列求和公式可得結果.
(2)若“數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”,設其公差為d′,bn+1﹣bnd′,根據(jù)定義,Mn+1≥Mn,mn+1≤mn,至少有一個取等號,當d′>0時,Mn+1>Mn,an+1=Mn+1>Mn≥an,即數(shù)列{an}為增數(shù)列,則Mn=an,mn=a1,進而得出.同理可得d′<0時,“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”;當d′=0時,Mn+1=Mn,且mn+1=mn,故{an}為常數(shù)列,是等差數(shù)列.
(3)由題意可得,根據(jù)定義可以分析得到當時,,即得;同理可得時,.,
所以當時,, 得到 可得,求得
;當時, 得到,求得,分段寫出結果即可.
(1)∵數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,∴,∴,
則,∴
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,設其公差為
∵
根據(jù),的定義,有以下結論:
,,且兩個不等式中至少有一個取等號,
①若,則必有,∴,即對,,都有
∴,,
∴,即為等差數(shù)列;
②當時,則必有,所以,即對,,都有
∴,,
所以,即為等差數(shù)列;
③當,
∵,中必有一個為0,∴根據(jù)上式,一個為0,則另一個亦為0,
即,,∴為常數(shù)數(shù)列,所以為等差數(shù)列,
綜上,數(shù)列也一定是等差數(shù)列.
(3)∵,
∴當時,,即,當時,,即.
以下證明:,
當時,
若,則,,所以,不合題意;
若,則,,則,得:,與矛盾,不合題意;
∴,即;
同理可證:,即,時,.
①當時,, ∴ ∴,
∵ ∴
∴
②當時,,且
∴,則為或.若為,則為常數(shù),與題意不符,∴ ∴ ∴
∴ ,
∴,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國有個名句“運籌帷幄之中,決勝千里之外”,其中的“籌”原意是指《孫子算經》中記載的算籌.古代是用算籌來進行計算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,(如圖所示),表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯計數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示,十位、千位、十萬位用橫式表示,以此類推.例如8455用算籌表示就是,則以下用算籌表示的四位數(shù)正確的為( )
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題中,正確的個數(shù)是__________.(1)已知,則“”是“”的充分不必要條件;(2)已知,則“”是“”的必要不充分條件;(3)命題“p或q”為真命題,則“命題p”和“命題q”均為真命題;(4)命題“若,則”的逆否命題是真命題.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)檔有多部優(yōu)秀電影上映,其中《流浪地球》是比較火的一部.某影評網(wǎng)站統(tǒng)計了100名觀眾對《流浪地球》的評分情況,得到如下表格:
評價等級 | ★ | ★★ | ★★★ | ★★★★ | ★★★★★ |
分數(shù) | 0~20 | 2140 | 4160 | 61~80 | 81100 |
人數(shù) | 5 | 2 | 12 | 6 | 75 |
(1)根據(jù)以上評分情況,試估計觀眾對《流浪地球》的評價在四星以上(包括四星)的頻率;
(2)以表中各評價等級對應的頻率作為各評價等級對應的概率,假設每個觀眾的評分結果相互獨立.
(i)若從全國所有觀眾中隨機選取3名,求恰有2名評價為五星1名評價為一星的概率;
(ii)若從全國所有觀眾中隨機選取16名,記評價為五星的人數(shù)為X,求X的方差.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識,對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來,某研究機構對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進行統(tǒng)計分析,得出下表數(shù)據(jù):
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;
(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預測燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面為菱形,,平面,、分別是、上的中點,直線與平面所成角的正弦值為,點在上移動.
(Ⅰ)證明:無論點在上如何移動,都有平面平面;
(Ⅱ)求點恰為的中點時,二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為,為參數(shù),在以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.
求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
若射線l:與曲線,的交點分別為A,B異于原點,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com