Question

今年暑假期間有一個自駕游車隊，組織車友前往青海游玩．該車隊是由31輛車身長都約為5m（以5m計算）的同一車型組成的，行程中經(jīng)過一個長為2725m的隧道（通過該隧道的速度不能超過20m/s），勻速通過該隧道，設(shè)車隊速度為xm/s，根據(jù)安全和車流的需要，當(dāng)0＜x≤12時，相鄰兩車之間保持20m的距離，當(dāng)12＜x≤20時，相鄰兩車之間保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距離．自第1輛車車頭進入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時間為
y（s）．
（Ⅰ）將y表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）求該車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用當(dāng)0＜x≤12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當(dāng)12＜x≤25時，相鄰兩車之間保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距離，可得分段函數(shù)；
（Ⅱ）分段求出函數(shù)的最小值，即可得到分段函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤12時，y=

2725+5×31+20×(31-1)

x

=

3480

x

；      …2分
當(dāng)12＜x≤20時，y=

2725+5×31+( 1 6 x2+ 1 3 x)×(31-1)

x

=

5x2+10x+2880

x

=5x+

2880

x

+10；…4分
∴所求函數(shù)解析式為y=

3480 x ，&(0＜x≤12) 5x+ 2880 x +10，&(12＜x≤20)

．               …6分
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤12時，由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以在x=12m/s時，ymin=

3490

12

=290（s）；…8分
當(dāng)12＜x≤20時，y=5x+

2880

x

+10≥2

5x• 2880 x

+10=250（s），
其中等號當(dāng)且僅當(dāng)5x=

2880

x

即x=24時成立．
但24∉（12，20]，且當(dāng)12＜x≤20時，y′=5-

2880

x2

=

5x2-2880

x2

＜0，
所以函數(shù)在（12，20]上也單調(diào)遞減，從而，當(dāng)x=20時，y_min=254（s）   …12分
因290＞254，所以y_min=254（s）．
答：當(dāng)車隊速度為20m/s時，車隊通過隧道時間最小，最小時間為254s．       …13分．

點評：本題考查分段函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．