Question

9．求函數(shù)f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$的奇偶性、值域、單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．用單調(diào)性的定義取點，作差，變形，判斷來證明即可．把原函數(shù)整理成 ${10}^{2x}=\frac{1+y}{1-y}$利用10^2x的范圍求值域即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），
則f（-x）=$\frac{1{0}^{-x}-1{0}^{x}}{1{0}^{-x}+1{0}^{x}}$=-$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=-f（x），
則函數(shù)為奇函數(shù)．
$f（x）=\frac{{{{10}^{2x}}-1}}{{{{10}^{2x}}+1}}=1-\frac{2}{{{{10}^{2x}}+1}}$
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＞x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}）}{（1{0}^{2{x}_{1}}+1）（1{0}^{2{x}_{2}}+1）}$，
而y=10^x在R上為增函數(shù)，
∴${10^{2{x_1}}}＞{10^{2{x_2}}}$，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上為增函數(shù)．
由$f（x）=\frac{{{{10}^{2x}}-1}}{{{{10}^{2x}}+1}}=1-\frac{2}{{{{10}^{2x}}+1}}$
得${10^{2x}}=\frac{1+y}{1-y}$，而10^2x＞0，即$\frac{1+y}{1-y}＞0$，
∴-1＜y＜1．
所以f（x）的值域是（-1，1）．

點評 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的證明以及對函數(shù)單調(diào)性的應用，在用定義證明或判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時，基本步驟是取點，作差或作商，變形，判斷．