Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（x+ ）+cosx，x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)x的取值集合；
（2）若α∈（0， ），f（α+ ）= ，求f（2α）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin（x+ ）+cosx= sinx+ cosx+cosx= sinx+ cosx

= sin（x+ ），

當(dāng)x+ =2kπ+ ，

即x=2kπ+ ，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值 ．

此時(shí)x的取值集合是{x|x=2kπ+ ，k∈Z}

（2）解：由（1）知f（x）= sin（x+ ），

∵f（α+ ）= ，

∴f（α+ ）=）= sin（ +α+ ）= cosα= ，

∴cosα= ，

∵α∈（0， ），

∴sinα= ，

sin2α=2sinαcosα=2× = ，

cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ，

∴f（2α）= = sin2α+ cos2α= = ．

【解析】（1）利用兩角和差的正弦公式以及輔助角公式將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)x的取值集合；（2）根據(jù)條件求出sinα和cosα的值，利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識(shí)，掌握兩角和與差的正弦公式：．