設(shè)C1 是以F為焦點的拋物線y2=2px（p＞0），C2是以直線2x-
3
y=0與2x+
3
y=0為漸近線，以（0，
7
）為一個焦點的雙曲線．
（Ⅰ） 求雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 若C1與C2在第一象限內(nèi)有兩個公共點A和B，求p的取值范圍，并求
FA
•
FB
的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運算,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，結(jié)合2是以直線2x-
3
y=0與2x+
3
y=0為漸近線，以（0，
7
）為一個焦點的雙曲線，求出幾何量，即可求雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）將y2=2px（p＞0）代入到
y2
4
-
x2
3
=1中并整理，確定p的范圍，再利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求
FA
•
FB
的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），
則據(jù)題得：
a
b
=
2
3
c=
7

又a2+b2=c2，
∴a=2，b=
3
，
∴雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
y2
4
-
x2
3
=1                …（4分）
（Ⅱ）將y2=2px（p＞0）代入到
y2
4
-
x2
3
=1中并整理得：2x2-3px+6=0．…（5分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0），則x1+x2=
3p
2
＞0，x1x2=3，
∵△=9p2-4×2×6＞0，
∴p＞
4
3
3
．
又F（
p
2
，0），
∴
FA
•
FB
=（x1-
p
2
）（x2-
p
2
）+y1y2=x1x2-
p
2
（x1+x2）+
p2
4
+2p
x1x2

=-
1
2
p2+2
3
p+3=-
1
2
．(p-2
3
)2+9≤9…（10分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)p=2
3
時，
FA
•
FB
的最大值為9．…（12分）
點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}的前3項為1，a+1，7-a，則該數(shù)列通項公式為（　　）
A、an=2n-5
B、an=2n-1
C、an=2n-3
D、an=2n+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A={x|x2≥4}，B={x|2x=
1
4
}，則A∩B=（　�。�
A、{2}
B、（-∞，-2]
C、[2，+∞）
D、{-2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=4x上的點M（x0，y0）到焦點F的距離為5，則x0的值為（　�。�
A、1B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P為雙曲線x2-
y2
3
=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=5：3，則△PF1F2的面積是（　�。�
A、4
2
B、6
C、7
D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4，設(shè)曲線y=f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1，0），其中x1為正實數(shù)，n∈N*．
（1）用xn表示xn+1；
（2）若x1=4，記an=lg
xn+2
xn-2
(n∈N*)，試判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列，若是求出其公比；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)bn=
(2n+5)lg3
2(2n+1)(2n+3)an
，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，證明：
7
30
≤Sn＜
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

堅持鍛煉一小時，健康成長每一天．某校為調(diào)查高中學(xué)生在校參加體育活動的時間，隨機抽取了100名高中學(xué)生進行調(diào)查，其中女學(xué)生有55名．上面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均體育鍛煉時間的頻率分布直方圖：
將日均體育鍛煉時間不低于50分鐘的學(xué)生評價為“良好”，已知“良好”評價中有10名女學(xué)生．
（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為“良好”與性別有關(guān)？
  非良好 良好 合計
男生      
女生      
合計      
（2）將日均體育鍛煉時間不低于60分鐘的學(xué)生評價為“優(yōu)秀”，已知“優(yōu)秀”評價中有2名女生，若從“優(yōu)秀”評價中任意選取2人，求至少有1名女生的概率．
下面的臨界值供參考：
當(dāng)x2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；當(dāng)x2＞2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)x2＞3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)x2＞6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．
（參考公式：x2=
n(ad-c)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=4，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點．
（1）求證：PA∥平面EFG
（2）求三棱錐P-EFG的體積
（3）求點P到平面EFG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，右焦點到直線l：3x+4y=0的距離為
3
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線m：y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求當(dāng)△AOB面積最大時，
直線m的方程．

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同步練習(xí)冊答案