Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=4，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面EFG
（2）求三棱錐P-EFG的體積
（3）求點(diǎn)P到平面EFG的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)推出線面平行；
（2）利用等積法V_P-EFG=V_G-PEF進(jìn)行求解即可．
（3）先作出點(diǎn)P到平面EFG的距離，利用直角三角形知識(shí)求解即可．

解答： 證明：（1）∵E、G分別是PC、BC的中點(diǎn)
∴EG是△PBC的中位線
∴EG∥PB
又∵PB?平面PAB，EG?平面PAB
∴EG∥平面PAB
∵E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)
∴EF∥CD
又∵底面ABCD為正方形
∴CD∥AB
∴EF∥AB
又∵AB?平面PAB，EF?平面PAB
∴EF∥平面PAB
又EF∩EG=E
∴平面EFG∥平面PAB
∵PA?平面PAB
∴PA∥平面EFG
（2）∵底面ABCD為正方形
∴GC⊥CD
∵PD⊥平面ABCD
∴GC⊥PD
又∵CD∩PD=D
∴GC⊥平面PCD
∴GC為三棱錐G-PEF的高
∵PD=AB=4
∴S△PEF=

1

4

S△PCD=

1

4

•

1

2

•PD•CD=2
GC=

1

2

BC=2
∴V_P-EFG=V_G-PEF=

1

3

×2×2=

4

3

（3）取AD的中點(diǎn)M．連接MF并延長(zhǎng)，過(guò)P作PN⊥MF=N．
∵EF⊥PD，EF⊥AD，PD∩AD=D
∴EF⊥平面PDA，
∵PN?平面PDA，
∴EF⊥PN，
又∵PN⊥MN，MN∩EF=F
∴PN⊥平面FEMG
即PN是點(diǎn)P到平面EFG的距離，
在△PNF中，PF=2，∠PFN=45°
∴PN=

2

即點(diǎn)P到平面EFG的距離為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了面面平行的判定定理的應(yīng)用，線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化，線面 垂直的判定定理的應(yīng)用，及利用換頂點(diǎn)求解三棱錐的體積等知識(shí)的綜合應(yīng)用，此類試題也是立體幾何的重點(diǎn)考察的試題類型