Question

某種汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)時(shí)費(fèi)用為16.9萬(wàn)元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)費(fèi)用共1.5萬(wàn)元，汽車(chē)的維修費(fèi)用為：第一年0.4萬(wàn)元，第二年0.6萬(wàn)元，第三年0.8萬(wàn)元，…依等差數(shù)列逐年遞增．
（1）設(shè)該車(chē)使用n年的總費(fèi)用（包括購(gòu)車(chē)費(fèi)用）為f（n），試寫(xiě)出f（n）的表達(dá)式；
（2）求這種汽車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算（即該車(chē)使用多少年平均費(fèi)用最少）．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）由已知，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得到f（n）的表達(dá)式；
（II）由（I）中使用n年該車(chē)的總費(fèi)用，我們可以得到n年平均費(fèi)用表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，我們易計(jì)算出平均費(fèi)用最小時(shí)的n值，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意f（n）=16.9+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+1.5n=0.1n²+1.8n+16.9（n∈N^*）；
（Ⅱ）設(shè)該車(chē)的年平均費(fèi)用為S萬(wàn)元，則有S=

f(n)

n

=0.1n+

16.9

n

+1.8
≥2

1.69

+1.8=4.4
當(dāng)且僅當(dāng)0.1n+

16.9

n

，即n=13時(shí)，等號(hào)成立．
所以，這種汽車(chē)使用13年報(bào)廢最合算．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型，基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得到f（n）的表達(dá)式，（II）的關(guān)鍵是根據(jù)基本不等式，得到函數(shù)的最小值點(diǎn)．