設(shè)函數(shù)f(x)=ln
x+1
2
+
1-x
a(x+1)
(a>0)•
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[1,﹢∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求證:當(dāng)n∈N*且n≥2時,
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
<lnn
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:對于(Ⅰ)(Ⅱ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),找到函數(shù)的極小值,解不等式組求出即可;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:當(dāng)a=1時,f(x)=ln
x+1
2
+
1-x
x+1
在[1,+∞)遞增,取-
1-x
x+1
=
1
n
,則x=
n+1
n-1
>1,
x+1
2
=
n
n-1
,得ln
n
n-1
1
n
(n≥2),從而有
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<ln2+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n
n-1
=lnn.
解答: 解:f′(x)=
1
x+1
+
-2
a(x+1)2
=
x-(
2
a
-1)
(x+1)2
,(x>-1),
∴f(x)在(-1,
2
a
-1)遞減,在(
2
a
-1,+∞)遞增,
∴f(x)在x=
2
a
-1處取到極小值;
(Ⅰ)由題意得:
2<
2
a
-1<4
a>0
,
2
5
<a<
2
3
;
(Ⅱ)由題意得:
2
a
-1≤1
a>0
,
∴a≥1;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:當(dāng)a=1時,f(x)=ln
x+1
2
+
1-x
x+1
在[1,+∞)遞增,
∴x>1時,有f(x)>f(1)=0,即ln
x+1
2
>-
1-x
x+1
,(x>1),
取-
1-x
x+1
=
1
n
,則x=
n+1
n-1
>1,
x+1
2
=
n
n-1
,
∴l(xiāng)n
n
n-1
1
n
(n≥2),
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<ln2+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n
n-1
=lnn,
∴結(jié)論成立.
點評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,解不等式,以及不等式的證明,是一道綜合題.
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6
5
C、
6
5
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π
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1
x
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(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=
e
x
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