Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（Ⅰ）求二面角M-AC-B的余弦值；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到面MAB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出二面角M-AC-B的余弦值．
（Ⅱ）求出平面MAB的一個(gè)法向量，利用向量法能求出點(diǎn)C到平面MAB的距離．

解答： 解：（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC．
在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，
建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）
由題意有A(

3

2

，-

1

2

，0)，設(shè)P（0，0，z₀）（z₀＞0），
則M(0，1，z0)，

AM

=(

3

2

，-

1

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)
由直線AM與直線PC所成的角為60⁰，
得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos600，
即z02=

π

2

z02+3

•z0，解得z₀=1
∴

CM

=(0，0，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

y1+z1=0 3 2 y1- 1 2 z1=0

，取x₁=1，得

n1

=(1，

3

，-

3

)，
平面ABC的法向量取為

n2

=(0，0，1)
設(shè)

n1

與

n2

所成的角為θ，則cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

- 3

7

．
二面角M-AC-B的平面角為銳角，
故二面角M-AC-B的余弦值為

21

7

．…（5分）
（Ⅱ）M（0，1，1），A(-

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，2，0），
∴

AM

=(

3

2

，

3

2

，1)，

MB

=(0，1，-1)．
設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量

m

=(x2，y2，z2)，
則

3 2 x2+ 3 2 y2+z2=0 y2-z2=0

，
取z₂=1，得

m

=(

5

3

，-1，-1)，
則點(diǎn)C到平面MAB的距離d=

| CB • m |

| m |

=

2 93

31

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．