Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且滿足a₁+a₄=

9

16

，q=

1

2

（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知b_n=2n-5，記T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得到a1[1+(

1

2

)3 ]=

9

16

，由此能求出a1=

1

2

，從而能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=2n-5，a_n=（

1

2

）ⁿ，T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，利用錯(cuò)位相減求和法有求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且滿足a₁+a₄=

9

16

，q=

1

2

，
∴a1[1+(

1

2

)3 ]=

9

16

，解得a1=

1

2

，
∴a_n=（

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=2n-5，a_n=（

1

2

）ⁿ，T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
∴T_n=

-3

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

Tn=

-3

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-5

2n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=-

3

2

+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-5

2n+1

=-

3

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-5

2n+1

=-

1

2

-

1

2n-1

-

2n-5

2n+1

，
∴T_n=-1-

2n-1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．