Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且平面，，M，N分別為，的中點(diǎn).

（1）記平面與底面的交線為l，試判斷直線l與平面的位置關(guān)系，并證明.

（2）點(diǎn)Q在棱上，若Q到平面的距離為，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）直線平面，證明見(jiàn)解析.（2）.

【解析】

（1）連接，可由線面平行判定定理證明平面，再由線面平行性質(zhì)及平行線的傳遞性證明直線與平面平行即可.

（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)，，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算可用表示的坐標(biāo)，并求得平面的法向量.根據(jù)條件及點(diǎn)到平面距離的向量求法，即可確定的值，進(jìn)而求得線段的長(zhǎng).

（1）直線與平面平行，證明如下：

連接，如下圖所示：

M，N分別為，的中點(diǎn)，

則由中位線定理可得，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面，

平面與底面的交線為，

由線面平行的性質(zhì)可得，

又因?yàn)?/span>，

則由平行線傳遞性可得

因?yàn)?/span>，且平面，平面，

所以直線平面.

（2）根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則設(shè)，，（），

所以

解得，所以

則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，

則

設(shè)平面的法向量為，

則，即

所以，令，代入解得.

即

而，

所以Q到平面的距離，

解得，因?yàn)?/span>，

所以.

所以